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去年3割打った選手は今年も打てるのか

予測の問題として立てる

「去年3割打ったから今年も打つだろう」は自然な推論です. これを予測問題として書き, どれくらい当たるのかを測ります.

あるシーズンを丸ごと隠し, それ以前だけを使って隠したシーズンの打率を当てる. 隠すシーズンは最初に決めて動かしません. 結果を見てから選び直すと, 何を測ったのか 分からなくなります.

library(Lahman)
library(dplyr)
library(ggplot2)

HOLDOUT      <- 2025    # 隠すシーズン (Lahman 14.0.0 に入っている最後の年)
TRAIN_FROM   <- 2021    # 学習に使う最初の年
MIN_AB_MODEL <- 250     # 階層モデルに入れる打数
MIN_AB_TEST  <- 200     # 予測の的にする打数

的にする側の打数を200以上に絞るのは, 当てにいく値そのものが ばらつくのを避けるためです. 50打数の打率は予測の巧拙と関係なく揺れます.

2020年は60試合制で打数がまったく違うので, 学習期間には入れていません.

season <- Batting %>%
  filter(yearID >= TRAIN_FROM, yearID <= HOLDOUT) %>%
  group_by(playerID, yearID) %>%       # 移籍した年は stint が分かれるので合算する
  dplyr::summarise(AB = sum(AB, na.rm = TRUE), H = sum(H, na.rm = TRUE),
                   .groups = "drop") %>%
  filter(AB > 0) %>%
  inner_join(People %>% dplyr::select(playerID, birthYear, birthMonth),
             by = "playerID") %>%
  filter(!is.na(birthYear), !is.na(birthMonth)) %>%
  mutate(age = yearID - birthYear - (birthMonth > 6))

年齢は「そのシーズンの6月30日時点で何歳か」とします. 年齢曲線の記事と同じ定義です. 守備位置は, 学習期間に一番多く出た場所で決めます.

pos <- Appearances %>%
  filter(yearID >= TRAIN_FROM, yearID < HOLDOUT) %>%
  group_by(playerID) %>%
  dplyr::summarise(C = sum(G_c), IF = sum(G_1b + G_2b + G_3b + G_ss),
                   OF = sum(G_of), DH = sum(G_dh), .groups = "drop") %>%
  mutate(pos = c("C", "IF", "OF", "DH")[max.col(across(c(C, IF, OF, DH)))]) %>%
  dplyr::select(playerID, pos)

past  <- season %>% filter(yearID <  HOLDOUT)                     # 学習に使える全記録
model <- past %>% filter(AB >= MIN_AB_MODEL) %>% inner_join(pos, by = "playerID")

test <- season %>% filter(yearID == HOLDOUT, AB >= MIN_AB_TEST) %>%
  inner_join(pos, by = "playerID") %>%
  filter(playerID %in% model$playerID) %>%     # 学習期間に実績のある選手だけ
  mutate(avg = H / AB)

階層モデルの学習データは2021-2024年の1,186人年 (506人), 予測の的は2025年の256人です. 2025年が初めての実働シーズンになる選手は, 過去が無いので対象外です.

一番弱いベースラインを先に置く

比べる相手が無いと, 予測が当たっているのかどうか言えません. 一番弱い相手は 全員に同じ値を答えることです. ここでは学習期間のリーグ全体の打率を使います.

lg <- sum(past$H) / sum(past$AB)

これを下回れないなら, その予測は何もしていないのと同じです.

前年の打率をそのまま使う

素直な予測を2つ並べます. どちらもベースラインが不利にならないよう, 打数の制限をかけずにその選手の全記録から作ります.

• 前年: 2024年の打率をそのまま答える
• キャリア: 2021-2024年の通算打率を答える

prev <- past %>% filter(yearID == HOLDOUT - 1) %>%
  transmute(playerID, prev = H / AB)

career <- past %>% group_by(playerID) %>%
  dplyr::summarise(cH = sum(H), cAB = sum(AB), career = cH / cAB, .groups = "drop")

pred <- test %>%
  left_join(prev,   by = "playerID") %>%
  left_join(career, by = "playerID") %>%
  mutate(リーグ平均 = lg,
         前年       = ifelse(is.na(prev), lg, prev),
         キャリア   = career)

rmse <- function(p, a) sqrt(mean((p - a)^2))
mae  <- function(p, a) mean(abs(p - a))

score <- function(d, cols) {
  data.frame(方法 = cols,
             RMSE = sapply(cols, function(k) rmse(d[[k]], d$avg)),
             MAE  = sapply(cols, function(k) mae(d[[k]], d$avg)),
             row.names = NULL)
}
s1 <- score(pred, c("リーグ平均", "前年", "キャリア"))

2025年の打率の予測誤差

方法	RMSE	MAE
リーグ平均	0.0270	0.0216
前年	0.0313	0.0241
キャリア	0.0265	0.0211

前年の打率をそのまま使うと, 全員にリーグ平均を答えるより悪くなります (RMSE 0.0313 対 0.0270).

「去年3割打った選手は今年も打てるのか」への答えは, 少なくともこの形では 「去年の数字を持ってくるくらいなら, 全員に平均を答えたほうがまし」です.

なぜ負けるのか

前年の打率には, 実力と「その年たまたま」が混ざっています. 予測に使えるのは 実力の部分だけなのに, そのまま持ってくると偶然の分まで来年に持ち越してしまいます.

前年の成績で選手を5つに分け, 2025年に何が起きたかを見ます.

reg <- pred %>% filter(!is.na(prev)) %>%
  mutate(層 = ntile(prev, 5)) %>%
  group_by(層) %>%
  dplyr::summarise(前年 = mean(prev), 翌年 = mean(avg), n = n(), .groups = "drop")

reg %>%
  tidyr::pivot_longer(c(前年, 翌年), names_to = "年", values_to = "打率") %>%
  ggplot(aes(x = factor(層), y = 打率, colour = 年, group = 年)) +
  geom_line() + geom_point(size = 2) +
  geom_hline(yintercept = lg, linetype = "dashed") +
  xlab(paste0("前年 (", HOLDOUT - 1, "年) の打率による5分位")) + ylab("打率") +
  ggtitle("上位も下位も, 翌年は平均に寄る (破線はリーグ平均)")

前年の上位5分の1は平均0.292でしたが, 2025年は0.264まで落ちます. 下位5分の1は0.207から0.237へ上がります. 両側から中央に寄る, 平均への回帰です.

前年の値をそのまま使う予測は, この寄りをまったく織り込みません. だから外れます.

平均に寄せる (経験ベイズ)

寄るのが分かっているなら, 最初から寄せておけばよい, というのが縮小推定です. 打率をベータ二項モデルで見て, 通算成績を全体の分布に寄せます.

mm <- career %>% filter(cAB >= 300)
mu <- weighted.mean(mm$career, mm$cAB)
K  <- mu * (1 - mu) / var(mm$career) - 1     # 事前分布の「擬似打数」

pred <- pred %>% mutate(経験ベイズ = (cH + mu * K) / (cAB + K))

K は事前分布が何打数ぶんの重みを持つかです. ここでは 274打数相当で, 274打数ぶんの 「平均的な打者」を全員の成績に足してから割り直していることになります.

縮小を入れる

方法	RMSE	MAE
リーグ平均	0.0270	0.0216
前年	0.0313	0.0241
キャリア	0.0265	0.0211
経験ベイズ	0.0246	0.0196

縮小するとリーグ平均を下回ります (0.0246). 平均に負けない予測を作るのに必要だったのは, 情報を足すことではなく, 持っている情報を信じすぎないことでした.

年齢と守備位置を入れる (階層ベイズ)

経験ベイズは全員を同じ一点に寄せます. 実際には35歳と25歳で寄せ先は違うはずですし, 捕手と指名打者でも違うかもしれません. 寄せ先を共変量で動かします.

選手ごとの打撃力を変量効果, 年齢と守備位置を固定効果にした二項モデルを, 学習期間の人年データに当てます.

library(rstanarm)
options(mc.cores = min(4, parallel::detectCores()))

fit <- stan_glmer(cbind(H, AB - H) ~ poly(age, 2) + pos + (1 | playerID),
                  family = binomial, data = model,
                  chains = 4, iter = 1000, seed = 1, refresh = 0)

250打数以上のシーズンだけを使うのは, 出場機会がごく少ない年を入れると 年齢の効果が「出番が減った年」の効果と混ざるためです.

pred$階層ベイズ <- colMeans(
  posterior_epred(fit, newdata = pred %>% dplyr::select(playerID, age, pos)))

すべての方法

方法	RMSE	MAE
リーグ平均	0.0270	0.0216
前年	0.0313	0.0241
キャリア	0.0265	0.0211
経験ベイズ	0.0246	0.0196
階層ベイズ	0.0241	0.0188

一番当たったのは階層ベイズです. ただし, ここまでの差の付き方には はっきりした落差があります. リーグ平均から経験ベイズへの改善が 0.0023 なのに対し, 経験ベイズから階層ベイズへの改善は 0.0005 しかありません.

効いたのはほとんど「縮小したこと」そのもので, 年齢と守備位置を足したぶんは それに比べれば小さい, というのがこのホールドアウトから言えることです. 共変量を増やすより先に, 手持ちの数字を信じすぎないことのほうが大きく効きます.

年齢の1次の項の事後平均は-0.50 (95%区間 -0.84 〜 -0.14) で, 区間は0を含みません. 4シーズンぶんでも 「歳を取るほど打率は下がる」向きは見えています. それでも予測誤差が ほとんど動かないのは, 年齢で説明できる差が選手間の実力差に比べて小さい ためです. 効果が検出できることと, 予測が良くなることは別です.

縮小はどれくらい効いたのか

予測値そのものの散らばりを見ると, 何が起きたのか分かります.

long <- pred %>%
  tidyr::pivot_longer(c(前年, キャリア, 経験ベイズ, 階層ベイズ),
                      names_to = "方法", values_to = "予測") %>%
  mutate(方法 = factor(方法, levels = c("前年", "キャリア", "経験ベイズ", "階層ベイズ")))

ggplot(long, aes(x = 予測, colour = 方法)) +
  geom_density() +
  geom_vline(xintercept = lg, linetype = "dashed") +
  xlab(paste0(HOLDOUT, "年の打率の予測値")) + ylab("密度") +
  ggtitle("予測値の散らばり (破線はリーグ平均)")

実際の2025年の打率の標準偏差は0.0267です. 予測値の標準偏差は前年が0.0305, 経験ベイズが0.0182, 階層ベイズが0.0151です.

良い予測は実際より散らばりが小さくなります. 予測できるのは実力の差だけで, 来年の偶然は予測できないからです.

前年をそのまま使う予測だけが, 実際の打率より散らばっています (0.0305 対 0.0267). 来年に起きる偶然まで当てにいっている状態で, 順位表としては賑やかですが, 予測としては必ず外れます. RMSE で最下位だったことの中身がこれです.

誰がどれだけ寄せられたのか

打数が少ない選手ほど強く寄せられます.

ggplot(pred, aes(x = cAB, y = 階層ベイズ - career)) +
  geom_point(alpha = 0.5) +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +
  scale_x_log10() +
  xlab("学習期間の通算打数 (対数)") + ylab("階層ベイズ − 通算打率") +
  ggtitle("実績が薄い選手ほど寄せ先に引っぱられる")

通算打数が下位4分の1の選手では通算打率から平均 0.0121動かされ, 上位4分の1では0.0056しか 動きません. 実績が積み上がっているほど, 自分の数字がそのまま残ります.

注意

• 1シーズンのホールドアウトです. 2025年に固有の事情があれば, 順位はそのぶん動きます. 複数年で繰り返すまでは, 差の大きさより順序を 見てください. とくに経験ベイズと階層ベイズの差は小さく, 年を変えれば 入れ替わりうる程度です.
• 的にしたのは2025年に200打数以上立った選手だけです. 打席に立ち続けられた時点で選抜されています. 大きく崩れて出場機会を失った 選手は評価に入っていないので, どの方法も実際より良く見えているはずです. 年齢曲線の記事と同じ生存バイアスです.
• 学習期間は4シーズンと短く, 年齢の効果を推定するには 一人あたりの追跡が足りません. 加齢そのものを見るなら 年齢曲線の記事のほうが適した設計です.
• 打率だけを見ています. 四球や長打を含めた指標では, 実力の占める割合が変わるので 縮小の効き方も変わります.
• 変量効果は選手の切片だけで, 年齢の効き方は全員共通としています. 実際には 衰えの速さは人によって違います.
• 出場機会 (打数) 自体は予測していません. 打数を所与として打率だけを当てています.

関連

• 打者は何歳でピークを迎えるか — 年齢の効果そのもの
• シーズン序盤の打率から最終打率を当てる — 同じ縮小をシーズン内で行う話